Jawaban:
Selisih suku ke-5 dan suku ke-3 pada barisan aritmetika tersebut adalah 4.
Pembahasan
Barisan dan Deret Aritmetika
Misalkan beda/selisih antarsuku pada barisan aritmetika [tex]x_1,\:x_2,\:x_3,\:x_4,\:\dots[/tex] dinyatakan dengan b.
Maka, beda/selisih antarsuku pada deret aritmetika [tex]x_1+x_3+x_5+\dots+x_{2n-1}[/tex] adalah 2b.
Yang ingin dicari adalah selisih suku ke-5 dan suku ke-3 pada barisan aritmetika di atas, yang tidak lain adalah selisih dari 2 suku berurutan pada deret aritmetika di atas, yaitu suku ke-3 dan suku ke-2. Dan nilai beda/selisih ini tidak lain adalah beda/selisih antarsuku pada deret tersebut.
(kesimpulan awal)
Pada deret aritmetika [tex]x_1+x_3+x_5+\dots+x_{2n-1}[/tex], banyak sukunya adalah n suku, karena rumus umum suku ke-n barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, ... adalah 2n–1.
- n = 1: 2(1)–1 = 1
- n = 2: 2(2)–1 = 3
- n = 3: 2(3)–1 = 5
- dst.
Jadi, deret aritmetika di atas dapat dinyatakan sebagai deret "baru", yaitu:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}&X_1+X_2+X_3+X_4+\dots+X_n=n(2n+1)\\&\quad\textsf{dengan $n\ge1\,,\ X_2=x_3\,,\ $dan $X_3=x_5$.}\end{aligned}$}[/tex]
Rumus suku ke-n deret ini dapat ditentukan dengan:
[tex]\large\text{$\begin{aligned}X_n&=S_n-S_{n-1}\\&=n(2n+1)-(n-1)[2(n-1)+1]\\&=2n^2+n-(n-1)(2n-2+1)\\&=2n^2+n-(n-1)(2n-1)\\&=2n^2+n-[2n^2+(-2-1)n+1]\\&=2n^2+n-[2n^2-3n+1]\\&=2n^2+n-2n^2+3n-1\\&=4n-1\end{aligned}$}[/tex]
Sesuai kesimpulan awal di atas, maka untuk menghitung selisih suku ke-5 dan suku ke-3 pada barisan aritmetika [tex]x_1,\:x_2,\:x_3,\:x_4,\:\dots[/tex] , kita tinggal menghitung beda/selisih antarsuku pada deret [tex]x_1+x_3+x_5+\dots+x_{2n-1}[/tex]. Bisa menggunakan suku dengan indeks berapapun, asalkan berurutan.
Kita pilih yang sesuai kondisi di atas saja, yaitu suku ke-3 dan suku ke-2 pada deret yang baru, yang secara berturut-turut merupakan suku ke-5 dan suku ke-3 pada barisan aritmetika induk.
[tex]\large\text{$\begin{aligned}b&=X_3-X_2\\&=4(3)-1-[4(2)-1]\\&=12-1-8+1\\&=12-8\\&=\bf 4\end{aligned}$}[/tex]
∴ Dengan demikian, selisih suku ke-5 dan suku ke-3 pada barisan aritmetika tersebut adalah 4.
